Условие: Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.
Решение:
а) Выполним чертеж и отметим равные отрезки:
AC1 = C1B ; BA1 = A1C; AB1 = B1C (так как AA1, BB1 и CC1 — медианы).
Для решения данной задачи вспомним свойства медиан треугольника:
- Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
- Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Так как треугольник разделяется своими медиана на 6 равновеликих: S AB1M = S CB1M = S CMA1 = S BMA1 = S BMC1 = S AMC1 = S
A1B2 — медиана треугольника BMA1 из этого следует, что
S BA1B2 = S MB2A1 = S/2
Аналогично S MA1C2 = S CC2A1 = S/2; S B1MC2 = S CB1C2 = S/2;
S B1A2M = S B1AA2 = S/2; S A2AC1 = S MA2C1 = S/2;
S BB2C1 = S MB2C1 = S/2
б) AB = 5, BC = 8 и AC = 10
BA1 = A1C = 4; AB1 = B1C = 5; AC1 = C1B = 5/2
Так как AM:MA1 = 2:1 , BM:MB1 = 2:1 , CM:MC1 = 2:1 ,а точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC отсюда следует, что AA2 = A2M = MA1; BB2 = B2M = BA1; CC2 = C2M = MC1
B1C2 — средняя линия треугольника AMC и равна половина AM, то есть B1C2 =A2M.
Аналогично C1B2 — средняя линия треугольника ABM, то есть C1B2 = A2M.
C1A2 — средняя линия треугольника ABM, то есть C1A2 = B2M.
C2A1 — средняя линия треугольника BMC, то есть C2A1 = B2M.
Отметим равные отрезки:
Как видно из рисунка задача сводится к нахождению медиан треугольника.
Для дальнейшего решения воспользуемся формулой Герона и теоремой косинусов:
Ответ: 63/2